2차원 𝒩=1 초등각 장론

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1. 개요
2. 표현
- 2.1. 네뵈-슈바르츠 대수와 라몽 대수
  - 2.1.1. 경계 조건
- 2.2. 최소 모형
3. 응용
참조

1. 개요

2차원 𝒩=1 초등각 장론은 2차원 등각 장론의 일종으로, 초등각 대칭을 갖는 이론이다. 이 이론의 표현은 초1차장 위에 사다리 연산자의 작용으로 구성되며, 네뵈-슈바르츠 대수와 라몽 대수로 분류된다. 네뵈-슈바르츠 대수는 대역적 초등각 대칭을, 라몽 대수는 $G_0$ 을 포함하는 리 초대수를 이룬다. 유니터리 표현은 c 값에 따라 무게의 조건을 가지며, 최소 모형은 c<3/2인 경우로 분류된다. 이 이론은 초끈 이론의 세계면 이론에 응용되며, 끈의 경계 조건에 따라 라몽 부문과 네뵈-슈바르츠 부문으로 나뉜다.

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2차원 𝒩=1 초등각 장론

2. 표현

비라소로 대수와 마찬가지로, $\mathcal N=1$ 초등각 대수의 기약 표현은 '''초1차장'''(超一次場, superprimary field^영어) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다.^[4] 초1차장은 다음을 만족시키는 상태이다.

: $L_n|\phi\rangle=G_r=0\qquad\forall n,r>0$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

: $L_{-n_1}L_{-n_2}\cdots L_{-n_k}G_{-r_1}G_{-r_2}\cdots G_{-r_p}|\phi\rangle\qquad(0$

여기서 $r_i 인 것은 G_r^2=L_{2r}-\frac c{24}\delta_{r,0} 이기 때문이다.$

라몽 경계 조건에서 $G_0$ 의 경우, $G_0^2=L_0-c/24$ 이므로, 무게가 $h$ 인 비라소로 1차장을 $G_0|h\rangle=\pm\sqrt{h-c/24}|h\rangle$ 가 되게 대각화할 수 있다.

유니터리 표현의 경우, 가능한 무게들은 다음과 같다.^[5]

$c\ge3/2$ 인 경우: $h\ge0$ (NS), $h\ge c/24$ (R)
$0 인 경우:$

:

c_k=\frac32-\frac{12}{m(m+2)}

:

h_{r,s}=\frac{(r(m+2)-sm)^2-4}{8m(m+2)}+\begin{cases}0&\text{NS}\\1/16&\text{R}\end{cases}\qquad(1\le r\le m-1,\;1\le s\le m+1)

후자의 경우는 최소 모형에 등장한다.

이러한 대수들의 유니터리 최고 무게 표현들은 비라소로 대수와 유사한 분류를 가지며, 무한 연속체와 무한 이산 계열의 표현이 있다. 다니엘 프리단, 종강 치우, 스티븐 쉔커는 1984년에 이러한 이산 계열의 존재를 추측했고, 피터 고다드, 에이드리언 켄트, 데이비드 올리브는 1986년에 코셋 구성 (GKO 구성)을 초대칭적으로 일반화하여 이를 증명했다.

2. 1. 네뵈-슈바르츠 대수와 라몽 대수

NS 대수에서,

L_0

,

L_{\pm1}

,

G_{\pm1/2}

는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭의 리 초대수이다.

R 대수에서,

L_0

,

G_0

,

c

는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

:

[L_0,G_0]=[L_0,L_0]=0

:

\{G_0,G_0\}=2(L_0-c/24)

이러한 대수들의 유니타리 최고 무게 표현들은 비라소로 대수와 유사한 분류를 가지며, 무한 연속체와 무한 이산 계열의 표현이 있다. 다니엘 프리단, 종강 치우, 스티븐 쉔커는 1984년에 이러한 이산 계열의 존재를 추측했고, 피터 고다드, 에이드리언 켄트, 데이비드 올리브는 1986년에 코셋 구성 (GKO 구성)을 초대칭적으로 일반화하여 이를 증명했다.^[1]

2. 1. 1. 경계 조건

초끈 이론에서 페르미온장은 닫힌 끈 주위의 원에서 주기적이거나 반주기적일 수 있다. 주기적 조건은 '''라몽 경계 조건'''이라고 하고, 반주기적 조건은 '''네뵈-슈바르츠 경계 조건'''이라고 한다. 라몽 경계 조건은 라몽 대수로, 네뵈-슈바르츠 경계 조건은 네뵈-슈바르츠 대수로 설명된다.

페르미온장의 주기성은 세계면의 좌표 선택에 따라 달라진다. 단일 끈 상태의 세계면이 긴 원통으로 묘사되는 ''w-프레임''에서는 네뵈-슈바르츠 부문의 상태는 반주기적이고 라몽 부문의 상태는 주기적이다. 반면 단일 끈 상태의 세계면이 무한한 구멍난 평면으로 묘사되는 ''z-프레임''에서는 그 반대이다.

열린 끈에서도 가장자리에서 페르미온장의 경계 조건에 따라 네뵈-슈바르츠 부문과 라몽 부문이 정의된다.

2. 2. 최소 모형

c^영어<3/2인 유니터리 초등각 장론들은 완전히 분류되었으며, 이들을 '''최소 모형'''이라고 한다.^[5] 최소 모형은 특정 값을 갖는 중심 전하 c^영어와 최고 무게 h^영어를 가지는 표현들로 구성된다.

0 < c^영어 < 3/2 인 경우, 중심 전하 c^영어와 최고 무게 h^영어는 다음과 같다.

:

c_k=\frac32-\frac{12}{m(m+2)}

:

h_{r,s}=\frac{(r(m+2)-sm)^2-4}{8m(m+2)}+\begin{cases}0&\text{NS}\\1/16&\text{R}\end{cases}\qquad(1\le r\le m-1,\;1\le s\le m+1)

자유 마요라나-바일 페르미온

\psi

(h^영어 = 1/2)과 자유 실수 보손

\partial\phi

(h^영어 = 1)으로 구성된 자유 장론은 c^영어=3/2인 𝒩^영어=(1,1) 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, 비라소로 1차장들은 다음과 같다.

기호	무게 $h$	설명
$1$	0	진공
$Q=\psi\partial\phi$	3/2	초전류 (1에 $G_{-3/2}$ 를 가하여 얻음)
$\psi$	½	페르미온
$\partial\phi$	1	보손 ( $\psi$ 에 $G_{-1/2}$ 를 가하여 얻음)

즉, 두 개의 초1차장 $1$ , $\psi$ 를 갖는다.

이러한 대수들의 유니터리 최고 무게 표현들은 비라소로 대수와 유사한 분류를 가지며, 무한 연속체와 무한 이산 계열의 표현이 있다.

3. 응용

초끈 이론에서 끈의 세계면 이론은 2종 초끈의 경우 $\mathcal N=(1,1)$ 초등각 장론, 잡종 끈의 경우 $\mathcal N=(1,0)$ 초등각 장론을 이룬다.^[1] 페르미온장은 닫힌 끈 주위의 원에서 주기적 또는 반주기적일 수 있다. "라몽 부문"의 상태는 주기적 조건을 허용하며, 이는 '''라몽 경계 조건'''이라고 하고 라몽 대수로 설명된다. 반면 "네뵈-슈바르츠 부문"의 상태는 반주기적 조건을 허용하며, '''네뵈-슈바르츠 경계 조건'''이라고 하고 네뵈-슈바르츠 대수로 설명된다.^[1]

페르미온장의 주기성은 세계면의 좌표 선택에 따라 달라진다. 단일 끈 상태의 세계면이 긴 원통으로 묘사되는 ''w-프레임''에서는 네뵈-슈바르츠 부문의 상태는 반주기적이고 라몽 부문의 상태는 주기적이다. 반대로 단일 끈 상태의 세계면이 무한한 구멍난 평면으로 묘사되는 ''z-프레임''에서는 라몽 부문의 상태가 반주기적이고 네뵈-슈바르츠 부문의 상태가 주기적이다.^[1]

네뵈-슈바르츠 부문과 라몽 부문은 열린 끈에서도 정의되며, 열린 끈의 가장자리에서 페르미온장의 경계 조건에 따라 달라진다.^[1]

참조

_[1] 논문 Dual Theory for Free Fermions American Physical Society (APS) 1971-05-15
_[2] 논문 Tachyon-free dual model with a positive-intercept trajectory Elsevier BV
_[3] 논문 A presentation for the Virasoro and super-Virasoro algebras http://projecteuclid[...]
_[4] 서적 Introduction to conformal field theory with applications to string theory Springer-Verlag
_[5] 서적 String theory. Volume 2: Superstring theory and beyond Cambridge University Press

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